MATEMÁTICA
GRADO 3º
Logros a alcanzar en Matemática Grado 3º
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Números de 0 a 999.999, teniendo claro el concepto de unidad, decena, centena, unidades de miles, decenas de miles y centenas de miles.
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Comprende el concepto de adición, sustracción y sus propiedades.
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Comprende el concepto de conjuntos y sus clases.
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Comprende los números romanos, sus reglas y su utilidad
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Comprende la relación entre multiplicación y división y multiplica hasta por 3 cifras.
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Comprende el uso de fracciones sencillas y es capaz de representarlas en forma gráfica y numérica.
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Puede ampliar o reducir figuras en una cuadrícula y comprende el concepto de simetría.
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Ubica lugares en mapas y describe trayectos.
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Mide y estima la longitud, distancia, área, capacidad, peso, duración, etc. en objetos y eventos. Conoce que instrumentos de medición usar en cada caso.
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Interpreta y representa datos de diferentes maneras como gráficos y tablas.
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Usa correctamente expresiones posible, imposible, muy posible y poco posible.
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Puede describir variaciones en eventos cotidianos. Ej. velocidad y volumen.
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Reconoce y propone patrones con números y figuras geométricas (Ver geometría).
PRIMER PERÍODO
Sistema numérico decimal
El sistema numérico decimal, es un sistema para representar cantidades hasta el infinito y consiste en combinar series de 10 números que van desde el 0 hasta el 9. Estos 10 números son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Para representar cualquier número, el sistema decimal se sirve de un ingenioso truco, sencillo y muy efectivo. El truco consiste en que cualquiera de estos números cambia su valor de acuerdo con su posición de derecha a izquierda.
Los romanos poseían un sistema que era decimal, pero no posicional; además de ello no usaban el cero (0) como número, razón por la cual tenían muchos problemas para representar números grandes y para realizar cálculos precisos.
Los Indúes inventaron el sistema posicional e incorporaron el "cero" como número, su nombre proviene del sánscrito "shunya" que significa vacío. Aunque el concepto de cero existió en muchas culturas como la cultura babilónica o maya, no lo usaron como número. Fue el sistema posicional indú difundido por los árabes, el que desarrollo el verdadero potencial del número "cero".
El sistema posicional con la ayuda del cero hace que cada uno de los nueve números restantes (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) gane un valor 10 veces mayor, cada vez que avanza una posición a la izquierda, representando según el caso unidades (U), decenas (D), centenas (C), unidades de mil (UM), decenas de mil (DM) centenas de mil (CM) y así sucesivamente hasta el infinito. En este período solamente nos detendremos en las primeras 6 posiciones. En la gráfica vemos un número de 4 cifras, su descomposición y lectura.
Note que el número a la derecha con el color morado representa las unidades (U), el que le sigue a la izquierda de color lila representa las decenas (D), el que le sigue de color amarillo representa las centenas (C) y el número
Números de 4 cifras
siguiente a la izquierda de color verde representa las unidades de mil, las cuales se acostumbra a separar con un punto para facilitar su lectura. El cero tiene la particularidad que cuando se coloca a la izquierda de un número no añade valor, pero cuando se coloca a la derecha de cualquier número lo incrementa 10 veces en forma sucesiva según el número de ceros a la derecha.
Números de 5 cifras
Al descomponer un número de cinco cifras vemos lo mismo que en el de cuatro cifras, sólo que el quinto número a la izquierda de color azul, representa a las decenas de mil y se lee como aparece en la gráfica.
Números de 6 cifras
Al igual que en el ejemplo anterior, descomponer un número de seis cifras es lo mismo que en el de cinco cifras, sólo que el sexto número a la izquierda de color rosado, representa a las centenas de mil y se lee como aparece en la gráfica.
Ejercicio: Hacer una tabla de 6 columnas y 10 filas para ubicar 10 números entre 3 y 6 cifras. Ubique uno por fila descomponiendo las unidades (U), decenas (D), centenas (C), unidades de mil (UM), decenas de mil (DM) y centenas de mil (CM) según el caso y escriba cómo se lee cada uno de estos números.
Nota al profesor: Realice tantos ejercicios como sea necesario hasta que los estudiantes entiendan bien el concepto, evalúe si considera necesario el aprendizaje de sus estudiantes.
LA ADICIÓN
DEFINICIÓN: La adición es una operación que permite reunir dos o más cantidades.
TÉRMINOS DE LA ADICIÓN: Las cantidades que deben reunirse reciben el nombre de sumandos y el resultado al reunir las cantidades recibe el nombre de suma.
Ejercicio: Organiza los números como en el ejemplo anterior y realiza las siguientes adiciones:
2.398 + 54.689
42.089 + 9.578
435.231 + 23.089
13.683 + 1.520
321. 700 + 65.812
54.364 + 43.110
Nota al profesor: Realice tantos ejercicios de adición como sean necesarios hasta que los estudiantes entiendan bien el concepto y el procedimiento antes de seguir con el siguiente tema.
Propiedades de la adición
La adición tiene 2 propiedades:
1. PROPIEDAD CONMUTATIVA: Puede cambiar el orden de los sumandos, pero la suma o resultado no cambia.
2. PROPIEDAD ASOCIATIVA: Los sumandos se pueden asociar de diferentes maneras, y sin embargo, la suma o resultado no cambia. Note en el ejemplo que sin importar como agrupe y adicione parte de los sumandos, la suma o resultado total no cambia.
Nota al profesor: Realice ejercicios en clase hasta que los estudiantes comprendan las propiedades de la adición.
LA SUSTRACCIÓN
DEFINICIÓN: La sustracción o resta es la operación que permite hallar la diferencia entre 2 cantidades.
TÉRMINOS DE LA SUSTRACCIÓN: La cantidad mayor recibe el nombre de "Minuendo", la cantidad que debe sustraerse o restarse recibe el nombre de "Sustraendo" y el resultado recibe el nombre de "Diferencia". No olvide colocar el signo "menos" (-) para indicar que la operación es una resta. (Ver gráfico)
Relación entre adición y sustracción
La adición nos permite comprobar que una resta esté bien hecha, el procedimiento es simple. Basta con sumar la "Diferencia" y el "Sustraendo" y el resultado debe ser un número igual al "Minuendo". (Ver gráfico)
Nota al profesor: Realice ejercicios en clase de restas hasta de 6 cifras, cuando considere necesario; haga que sus estudiantes practiquen la relación entre la adición y la sustracción para comprobar el resultado de sus restas.
NÚMEROS ROMANOS
Los romanos usaban un sistema decimal usando 7 letras de su alfabeto divididas en 2 grupos así: 4 Principales: (I, X, C, M) y 3 secundarios: (V, L, D). A cada letra le asignaron un número y mediante tres reglas podían representar números hasta 4.000, para números más grandes usaban un guión encima de la letra para indicar que este número se multiplica por mil.
Los números romanos se usan actualmente para enumerar capítulos de libros, marcar las horas de algunos relojes, escribir los siglos y ordenar personajes históricos como los papas católicos, descendientes de la nobleza o personajes famosos. Los valores asignados a estas 7 letras son los siguientes:
NÚMEROS PRINCIPALES
I = 1
X = 10
C = 100
M = 1.000
NÚMEROS SECUNDARIOS
V = 5
L = 50
D = 500
REGLAS DE USO
REGLA 1: Las cifras principales sólo pueden ser escritas hasta 3 veces.
III = 3
XXX = 30
CCC = 300
MMM = 3.000
REGLA 2: Cuando hay una letra escrita a la derecha de otra de igual o menor valor, se suman los valores de las letras.
VI = 6
XV = 15
CL = 150
MD = 1.500
MCV = 1.105
REGLA 3: Cuando hay una letra escrita a la izquierda de menor valor, se resta este valor de la letra a su derecha.
IV = 4
IX = 9
XL = 40
XVC = 85
CM = 900
Tabla del 1 al 100 en números romanos:
Nota al profesor: A manera de ejercicio coloque un grupo en números romanos en la pizarra y pida a sus estudiantes que identifiquen el número arábigo. Coloque números arábigos en la pizarra y pida a sus estudiantes de escriban sus equivalencias en números romanos. Se sugiere realizar una evaluación hasta esta parte antes de continuar con el siguiente tema "Conjuntos".
Método simplificado para aprender las tablas de multiplicar
CONJUNTOS
DEFINICIÓN: Conjunto es un grupo de objetos con al menos una característica en común.
REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS: Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas, y los objetos llamados elementos se agrupan entre llaves o globos dependiendo el tipo de representación que escojamos.
Representación entre Llaves de conjuntos
El conjunto de "vocales" se puede representar así: V = {a, e, i, o, u}.
El conjunto "días de la semana" se puede representar así: D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}.
El conjunto "meses de 31 días" se puede representar así: M = {enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre, diciembre}.
El conjunto "números menores a 10" se puede representar así: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
El conjunto de "niñas de 3ºB" se puede representar así: NA = {Valentina, Natalia, Linda, Mariana, Ana Sofía}.
El conjunto "roedores" se puede representar así: R = {ratón, rata, ardilla, tamia, puerco espín, castor, hamster}.
Representación Gráfica de conjuntos
Veamos algunos ejemplos de conjuntos representados gráficamente:
Determinación de conjuntos
Hay 2 formas de determinar los elementos de un conjunto:
Por extensión: Se nombra, enumera o muestra cada elemento del conjunto. Ejemplo: Si el conjunto es "Animales", muestra o enumera qué animales contiene: A = {hipopótamo, cebra, jirafa, león, perro}.
Por comprensión: Una palabra o un concepto permite inferir qué tipo de elementos contiene el conjunto. Ejemplos: "Animales", "Ropa", "Peces", "Hombres", "Planetas", etc.
En ambos casos la representación puede ser tanto gráfica como entre llaves. Veamos algunos casos:
Un conjunto representado entre llaves determinado por extensión sería: A = {perro, lobo, vaca, león, cebra, tortuga}
Un conjunto representado entre llaves determinado por comprensión sería: A = {Animales}
El mismo conjunto representado gráficamente por extensión y por comprensión sería:
Relación de pertenencia
La relación de pertenencia se aplica a elementos de un conjunto que pertenecen o no a él. Ejemplo: El TIGRE PERTENECE al conjunto de los ANIMALES, pero una PLANTA NO PERTENECE al conjunto de los ANIMALES.
En matemática el término "Pertenece" o "No pertenece" quiere decir que un elemento "Está" o "No está" en un determinado conjunto. No quiere decir que "Debería estar" o "No debería estar".
Para representar si un elemento "PERTENECE" o "NO PERTENECE" a un conjunto, se utilizan los siguientes símbolos; Según el caso el símbolo va entre el ELEMENTO y el NOMBRE del conjunto, según los siguientes ejemplos:
En el gráfico anterior, tenemos 2 conjuntos N y V. El primero contiene números del 1 al 9 y el segundo contiene las 5 vocales. A la derecha hay una columna con la representación matemática de elementos que PERTENECEN o NO PERTENECEN a alguno de los conjuntos. Al leer estas representaciones podemos decir:
El elemento "8" PERTENECE al conjunto "N"
El elemento "11" NO PERTENECE al conjunto "N"
El elemento "5" NO PERTENECE al conjunto "V"
El elemento "1" PERTENECE al conjunto "N"
El elemento "a" NO PERTENECE al conjunto "N"
El elemento "e" PERTENECE al conjunto "V"
El elemento "b" NO PERTENECE al conjunto "V"
El elemento "u" PERTENECE al conjunto "V"
El elemento "i" PERTENECE al conjunto "V"
Nota al profesor: Se sugiere hacer actividades en clase que incluyan ejercicios de falso y verdadero y prácticas de conjuntos con representación gráfica o entre llaves para reforzar la comprensión de este concepto.
Subconjuntos
Son colecciones que se forman dentro de un conjunto más grande, el cual se llama conjunto universal. En la siguiente gráfica se muestra que un conjunto "A" que contiene animales, tiene un subconjunto llamado "V" que son animales voladores. Para indicar que un conjunto es un subconjunto de otro se utiliza el siguiente símbolo:
La representación matemática sería:
Donde "V" es subconjunto de "A"
ACTIVIDAD: Se sugiere hacer actividades en clase como por ejemplo dibujar un conjunto de vehículos de transporte y un subconjunto de transporte aéreo.
El profesor puede pedir a sus estudiantes que a partir de un conjunto universal, saque un subconjunto o a partir de un subconjunto creen un conjunto universal. Ejemplos:
1. Los números del conjunto universal son menores que 20. Crear un subconjunto.
2. El subconjunto de las vocales a qué conjunto universal pertenece?
3. El conjunto de los computadores qué subconjuntos puede tener?
4. Encuentre 2 opciones de conjunto universal para el subconjunto "Planetas"
Unión de conjuntos
La unión de 2 conjuntos está formada por todos los elementos que pertenecen al primer conjunto y todos los elementos que pertenecen al segundo conjunto. Si un elemento aparece en los dos conjuntos, sólo aparece uno de esos elementos en el conjunto unido. El símbolo para representar la unión de 2 conjuntos es "U".
Veamos un ejemplo en representación en forma de llaves y gráfica:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
El conjunto unido sería:
AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
ACTIVIDAD: Se sugiere hacer actividades en clase uniendo diferentes tipos de conjuntos, como por ejemplo números, insectos, flores, animales, países, ciudades, etc. Recuerde: Si aparece el mismo elemento en los dos conjuntos, en la unión de los mismos este elemento aparece una sola vez.
Intersección entre conjuntos
La intersección entre 2 conjuntos es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Veamos un ejemplo de un conjunto que resulta de la intersección de otros dos conjuntos y el símbolo que representa esta unión.
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
O = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
El conjunto que resulta de la intersección de estos dos sería:
AnB = {6, 7, 8, 9}
ACTIVIDAD: Se sugiere realizar muchos ejercicios en clase con conjuntos de diferentes características, junto con su representación matemática entre llaves utilizando el símbolo correspondiente.